Trabajo Práctico: números reales

Números reales

Conjuntos Numéricos

Los números naturales: Los números naturales que permiten contar los elementos de un conjunto por ejemplo:  1(uno) 2(dos) 3(tres) 6(seis) son números naturales.

• Se representan con la letra N

 Los números enteros: Los números enteros son los números naturales, sus inversos y el 0.

•  Se representa con la Z, ejemplo: Z= ...-4,-2,-1,0,1,2,3,4...

Los números racionales: Los números racionales son todos aquellos números que se pueden representar en forma de a/b (fracción) en donde a y b son nº enteros y b es distinto de 0. También todos los números decimales finitos e infinitos PERIÓDICOS son racionales. Así podemos deducir que los Nº naturales,enteros,fraccionarios y decimales finitos e infinitos periódicos pertenecen al conjunto de números racionales.

• Se representan con la letra Q.

Los números irracionales: Son números racionales aquellos que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, por lo tanto no se puede expresar como fracción.

•  Se denota con la letra I.
• El numero irracional mas conocido es el numero π (pi) que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
• π (pi)= 3,141592653589.
• 
  

Los números reales: El conjuntos formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales.

• Se denota con la letra R

Discretos

• En contraposición a continuos, si son divisibles un número finito de veces. ejemplos: Los números naturales son discretos.

Densos

• Cuando entre dos números racionales hay infinitos números racionales y lo mismo ocurre con los reales.

Ejercicios: 

• Decide si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifica.

a)       El conjunto N es discreto.

b)       El conjunto Z es discreto.

c)       El conjunto R es denso.

d)       Todos los números naturales son racionales.

e)       El cociente entre dos números racionales es siempre un número racional.

f)       √49  es un número irracional.

g)       Para representar √5 en la recta numérica es útil construir un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 y 2.

h)       Todo número que se expresa como raíz cuadrada de un número racional es irracional.

i)         Las raíces cuadradas de los números primos son siempre irracionales.

Solución: a) Verdadero porque se puede contar.

                    b) Verdadero por la misma razón que el a

                    c) Verdadero porque son todos los números naturales,enteros son infinitos.

                    d) Falso porque hay números racionales que no son naturales como los negativos.

                    e) Verdaderos. Ej: 1/5 : 1.5/2.3 = 5/6

                     f) Falso porque √49 es 7→ numero irracional

                     g) Verdadero por teorema de pitágoras: 

                                     h) Falso. Porque ej: √9 = 3→ nº racional

                                I) Verdadero.√5 = 2,23

Sucesiones

• Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.
• Se utiliza para sacar el resultado del término que uno quiera, reemplazando la n por el término que se quiera saber.

Formulas: 

Ejercicio: 1-       Dada la sucesión a_n = (1 + 1/n)ⁿ

a)       Investiga con tu calculadora y calcula los diez primeros términos de la sucesión.

¿Cuánto vale a₁₀₀? ¿y a₁₀₀₀?

$a_5$

Valor absoluto

Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen.

Observe en el dibujo que la distancia del 6 al origen es 6 unidades, igualmente la distancia del punto −6 al origen es 6. En notación, esto es |−6| = 6 .

Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas.

En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número.

De modo general, el valor absoluto de un número real a , se escribe |a| , es el mismo número a cuando es positivo o cero , y opuesto de a , si a es negativo .

• Ejemplos: a) -3 y b) 5

(-3)=3           (-3)+5)

             (5)=5              3+5=8            

         

Intervalos

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto:(a;b)

Intervalo cerrado: [a;b]

Intervalo semiabierto por la izquierda: (a;b]

Intervalo semiabierto por la derecha: [a;b)

Propiedades de raíces

• La raíz es distributiva en la multiplicación y división. 

• En la suma y resta no.
•  En la raíz de raíz se multiplican los índices, no se suman.

 Racionalización del tipo 

Se multiplica el numerador y el denominador por .

Ejemplo:

ÁREA Y PERÍMETRO

• Para el área b.h: 2                                                                                                 

 Perímetro: suma de los dos lados.

Cubos mágicos

• Son números reales, que la suma de todas las filas da igual.
• La suma de horizontales, verticales y diagonales dan lo mismo.
• Los cuadrados mágicos son clasificados de acuerdo con el número de celdas que tiene cada fila o columnas. 

Numero de oro

El número áureo (también llamado número de oro, razón extrema y media,​ razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción​) es un número irracional,​ representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.

La ecuación se expresa de la siguiente manera:

$$

• Es un número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza (crecimiento de las plantas, las piñas, distribución de hojas en un tallo, etc) en el arte y el diseño.  

Numero pi π 

• Es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría euclidiana.   
• Es un número irracional y una de las constantes matemáticas mas importantes, se utiliza frecuentemente en matemáticas, ingeniería y física.   
• Se expresa de esta manera: