Probabilidad

Probabilidad

• Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.
• La probabilidad es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso. Establece una relación entre el número  de sucesos favorable y el números total de sucesos posibles. Por ejemplo: lanzar un dado, y que salga el número uno (caso favorable) está en relación a seis casos posibles (1,2,3,4,5 y 6); es decir, la probabilidad es 1/6. 

 EXISTEN DOS TIPOS DE SUCESOS:

Sucesos naturales: Son aquellos cuyo resultado podemos predecir.

Sucesos por azar: Cuyo resultado no podemos predecir, pero si se conocen los posibles resultados que se pueden dar. Se pueden clasificar en:

•  Sucesos seguros: Es aquel que es cierto, que ocurrirá sin lugar a dudas. ejemplo: Si lanzamos un dado, es seguro que saldrá un número del 1 al 6.
• Sucesos posibles: Es todo lo que compone un fenómeno determinado. ejemplo: Al lanzar una moneda, los sucesos posibles son cara o ceca. 
• Sucesos imposibles: El que no pueden ocurrir, y se contraponen a un suceso seguro.ejemplo: En una partida de domino dos jugadores tengan la misma ficha, sería imposible porque son 28 fichas diferentes. La probabilidad es 0 cuando el suceso es imposible y 1 suceso es seguro. 

Ejercicios

1- Se lanzan cuatro monedas al aire simultáneamente. Calculen las probabilidades de estos sucesos: 

A) De que salga una ceca.→ 4/4

B) De que salgan dos o más caras.→ 4/4 

C) De que salgan cuatro caras. → 4/4   

               1 moneda→ 2 resultado → cara o ceca.

4 monedas→ 8 resultados

                                                                    

2- De un mazo de cartas de truco, se extrae una carta sin mirar.¿Cuál es la probabilidad de que sea oro o que sea un siete?

Oro → 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12→  10/40

Siete→  4 palos  → 4/40 

3- En una caja se colocan tarjetas numeradas del 1 al 12, y se extrae una al azar: Calculen las siguientes probabilidades:

a) Que sea par.

b) Que salga un número menor que 5.

c) Que salga par y menor que 5.

d) Que salga par o menor que 5.

Caja →  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

A) 6/12

B) 4/12

C) 2/12

D) Par: 2,4

menor que 5: 1,2,3,4 4/12.

    4- En una bolsa se introducen quince bolillas numeradas del 1 al  15 y se saca una al azar: Calculen las siguientes probabilidades 

a) De que tenga un número par o mayor que 6.

b) De que tenga un número primo o múltiplo de 3.

c) De que tenga un número impar y múltiplo de 3.

a)- Bolillas → 1-15 

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

Nº par: 2,4,6,8,10,12,14

Mayor a 6: 7,8,9,10,11,12,13,14,15

El número par y mayor a 6 = 12/15

b)- Nº primos=2,3,5,7,11,13

     Nº múltiplo de 3=3,6,9,12,15 

Los números primos y el número múltiplo de 3= 10/15

c)-Nº impar y múltiplo de 3=3,9,15=   3/15                         

5) Se arrojan dos monedas y un dado simultáneamente. Calculen las siguientes probabilidades.

 a)¿Cuántos resultados posibles tiene este experimento?

 b) Calculen las siguientes probabilidades:

  P(2 caras y un 2)

   P(2 cecas o 2 caras y un número par)

c) Consideren los siguientes sucesos 

d) A: "Que salgan dos caras y un número mayor que tres"

e) B: "Que salgan dos cecas y un número menor que tres"

• ¿Cuál de los dos sucesos tiene mayor probabilidad de ocurrir? justificar la respuesta. 

a) cara, cruz, cara,cruz (4 probabilidades)

     1 dado ↪ 6 probabilidades

     Resultado: 24

b) (c,c 2) 1 probabilidad

    (x,x 2)

      (c,c 6)        =   3/24

    (c, x 8)    ↪b

c,d)a- (c,c 3)

          (c,c 4)        =  4/10

          (c,c 5)

               (c,c 6)

e)b- (x,x 3)

       (x,x 2)         =3/10

       (x,x 1)

6) Se arrojan dos dados. Calculen las probabilidades de que ocurran los siguientes sucesos 

a) De obtener dos números pares.

b) De que la suma sea par.

c) De que la suma sea impar o los dos números obtenidos sean mayores que 3.

d) De que la suma sea mayor que 4 y los dos números sean iguales. 

     

a) (2,2) (2,4) (2,6) (4,2),(4,4),(4,6),(6,2)

     (6,4) (6,6)↪

              9/36↪ Probabilidades.

b) sumas pares posibles: 2,4,6,8,10,12.

2:(1,1)

4:(2,2) (1,3) (3,1)

6: (3,3) (2,4) (4,2) (1,5) (5,1)

8: (6,2) (4,4) (2,6) (5,3) (3,5)

10: (5,5) (6,4) (4,6)

12: (6,6) 

               18/36 ↪ Probabilidades de que la suma sea par.

c) sumas impares posibles: 3,5,7,9,11

3: (1,2) (2,1)

5: (2,3) (3,2) (4,1) (1,4)

7: (1,6) (6,1) (2,5) (5,2) (3,4) (4,3)

9: (3,6) (6,3) (5,4) (4,5)

11: (5,6) (6,5)

            16/36↪ Mayor que 3. 

d) suma mayor que 4 y los dos nº iguales:

(3,3) (4,4) (5,5) (6,6)    =  4/4 ↪ Probabilidades de suma mayor que  4 y nº igual.