Funciones

Función lineal

• Es una función donde su dominio e imagen son los números reales, ejemplo: f (x)=4x+6

• Una función es lineal cuando su gráfico es una linea recta

Modelo de la función lineal:   F(x)=a.x+b 

                                                                       ↓

                                                                       ordenada de origen

Función creciente→ Una función f es creciente si para todo punto x del dominio la derivada es positiva, es decir f '(x) ≥ 0.
Función decreciente→  la función f es decreciente si para cualquier par de puntos x1 y x2 del dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1) ≥f(x2).
Función constante→ La función constante es aquella en la que para cualquier valor de la variable independiente ( x ), la variable dependiente ( f(x) ) no cambia, es decir, permanece constante.

Ejemplo de la función:  f (x)=4x+6

-Para completar una gráfica de función lineal necesitamos dos valores-Grafiquemos las siguientes funciones lineales:

• f(x) = x 

• f(x) = x + 2 

• f(x) = x -1 
  

• f(x) = 2x -1
  

• f(x) = 1/2 x + 2 
  

• f(x) = - 2/3 x + 2
  

• f(x) = -2x + 2
  

∗Considerando que las funciones lineales son de la forma y = ax+b, en base a los gráficos anteriores, ¿Puedes decir cómo influyen los valores que toman a y b?  
∗El b (la ordenada al origen) te indica la posición en el eje y , y donde corta el eje y.
∗El a (la pendiente) indica la inclinación de la recta respecto al eje de la x.

Ejercicios↓

• Hace cinco años, la población de una pequeña comunidad indígena era de 500 personas. Como consecuencia de su integración con otras comunidades, la población ascendió a 4.000 personas. Suponiendo que la población crece en forma lineal:
• a) Expresen mediante una fórmula la cantidad de habitantes en función del tiempo.
• b) Indiquen aproximadamente cuándo llegará la población a 10.000 habitantes.

a)- 0→ 500 p

     5 años → 4000p     6 años→ 4700p`
         f(x)=700x+500

b)-    f(x)=700x+1500             f(x)=700.13,5+500

 En 13,5 años habitantes         f(x)=9950

Función cuadrática

• Modelo de la función cuadrática: f(x)= ax²+bx+c

Recibe este nombre porque aparece x². Tiene dominio e imagen el campo de los reales. Ejemplo: f(x)= 2x²+4x + 7

                            ↓      ↓     ↓

                            a      b    c

                                           ↓

                                            Ordenada al origen

• La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Algunas parábolas cortan al eje de las X en dos puntos. Esos valores son las raíces (reales) o ceros del polinomio.

Gráficos: 

• a) f(x) = x²

• b) f(x) = x² + 1 

•  c) f(x) = x² - 1 

• d) f(x) = 2x²

• e) f(x) = -x ²   

• f)  f(x) = 1/2x²  

• g) f(x) = x² + 2x 

• h) f(x) = x² - 2x 

¿Cómo influyen los valores que toman los parámetros?

-ax²: es el termino cuadrático

-bx: es el termino lineal

-c: es el termino independiente 

• Para la función cuadrática y = 3x 2 − 6x + 5 encontremos: 

∗Dominio (R)

∗Imagen (2;3)

∗Vértice (1:2)

∗Raíces (No tiene)

∗Ecuación del eje de simetría

Problemas (Segunda parte)

1. Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de x televisores  son G: 3000 + 25x. en miles de euros , y los ingresos mensuales son I=50x-0,02x², también en miles de euros.

• ¿Cuantos televisores deben fabricarse para que el beneficio sea máximo?

2. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio.

La altura que alcanza viene dada por la formula b= 80 + 64t - 16t² ( t en segundos y b en metros)

• Halla la altura del edificio.
• ¿En que instante alcanza su máxima altura?

                                                           Expresión analítica

∗Gráfico

∗Expresión analítica  

X	(y) -x+5
5	0
4	1
3	2
2	3
1	4

X	(y) x-5
5	0
6	1
7	2
8	3
9	4